Взаимно простые числа: определение, примеры и свойства. Взаимно простые числа

$p$ называется простым числом, если у него только $2$ делителя: $1$ и оно само.

Делителем натурального числа $a$ называют натуральное число, на которое исходное число $a$ делится без остатка.

Пример 1

Найти делители числа $6$.

Решение: Нам надо найти все числа, на которые заданное число $6$ делится без остатка. Это будут числа: $1,2,3, 6$. Значит делителем числа $6$ будут числа $1,2,3,6.$

Ответ: $1,2,3,6$.

Значит, для того, чтобы найти делители числа надо найти все натуральные числа, на которые данное делится без остатка. Нетрудно заметить, что число $1$ будет являться делителем любого натурального числа.

Определение 2

Составным называют число, у которого кроме единицы и самого себя есть другие делители.

Примером простого числа может являться число $13$, примером составного число $14.$

Замечание 1

Число $1$ имеет только один делитель-само это число, поэтому его не относят ни к простым, ни к составным.

Взаимно простые числа

Определение 3

Взаимно простыми числами называются те, у которых НОД равен $1$.Значит для выяснения будут ли являться числа взаимно простыми необходимо найти их НОД и сравнить его с $1$.

Попарно взаимно простые

Определение 4

Если в наборе чисел любые два взаимно просты, то такие числа называются попарно взаимно простыми . Для двух чисел понятия «взаимно простые» и «попарно взаимно простые» совпадают.

Пример 2

$8, 15$ - не простые, но взаимно простые.

$6, 8, 9$ - взаимно простые числа, но не попарно взаимно простые.

$8, 15, 49$ - попарно взаимно простые.

Как мы видим, для того, чтобы определить являются ли числа взаимно простыми, необходимо сначала разложить их на простые множители. Обратим внимание на то, как правильно это сделать.

Разложение на простые множители

Например, разложим на простые множители число $180$:

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

Воспользуемся свойством степеней, тогда получим,

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Такая запись разложения на простые множители называется канонической, т.е. для того чтобы разложить в канонической форме число на множители необходимо воспользоваться свойством степеней и представить число в виде произведения степеней с разными основаниями

Каноническое разложение натурального числа в общем виде

Каноническое разложение натурального числа в общем виде имеет вид:

$m=p^{n1}_1\cdot p^{n2}_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^{nk}_k$

где $p_1,p_2\dots \dots .p_k$- простые числа, а показатели степеней- натуральные числа.

Представление числа в виде канонического разложения на простые множества облегчает нахождение наибольшего общего делителя чисел, и выступает как следствие доказательства или определения взаимно простых чисел.

Пример 3

Найти наибольший общий делитель чисел $180$ и $240$.

Решение: Разложим числа на простые множества с помощью канонического разложения

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, тогда $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, тогда $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

Теперь найдем НОД этих чисел, для этого выберем степени с одинаковым основанием и с наименьшим показателем степени, тогда

$НОД \ (180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

Составим алгоритм нахождения НОД с учетом канонического разложения на простые множители .

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел с помощью канонического разложения, необходимо:

разложить числа на простые множители в каноническом виде
выбрать степени с одинаковым основанием и с наименьшим показателем степени входящих в состав разложения этих чисел
Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 4

Определить, будут ли простыми, взаимно простыми числами числа $195$ и $336$.

$195=3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$НОД \ (195;336) =3\cdot 5=15$

Мы видим, что НОД этих чисел отличен от $1$, значит числа не взаимно простые. Также мы видим, что в состав каждого из чисел входят множители, помимо $1$ и самого числа, значит простыми числа так же являться не будут, а будут являться составными.

Пример 5

Определить, будут ли простыми, взаимно простыми числами числа $39$ и $112$.

Решение: Воспользуемся для разложения на множители каноническим разложением:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$НОД \ (39;112)=1$

Мы видим, что НОД этих чисел равен $1$, значит числа взаимно простые. Также мы видим, что в состав каждого из чисел входят множители, помимо $1$ и самого числа, значит простыми числа так же являться не будут, а будут являться составными.

Пример 6

Определить будут ли простыми, взаимно простыми числами числа $883$ и $997$.

Решение: Воспользуемся для разложения на множители каноническим разложением:

$883=1\cdot 883$

$997=1\cdot 997$

$НОД \ (883;997)=1$

Мы видим, что НОД этих чисел равен $1$, значит числа взаимно простые. Также мы видим, что в состав каждого из чисел входят только множители, равные $1$ и самому числу, значит числа будут являться простыми.

Натуральные числа a и b называют взаимно простыми , если их наибольший общий делитель равен 1 (НОД(a ; b ) = 1). Другими словами, если числа a и b не имеют никаких общих делителей, кроме 1, то они взаимно просты.

Примеры пар взаимно простых чисел: 2 и 5, 13 и 16, 35 и 88 и т. п. Можно указать несколько взаимно простых чисел, например, числа 7, 9, 16 – взаимно просты.

Часто взаимно простые числа обозначают так: (a , b ) = 1. Например, (23, 30) = 1. Эта запись как бы является сокращенной записью обозначения наибольшего общего делителя двух чисел (НОД(23, 30) = 1), и говорит о том, что их наибольший общий делитель равен 1.

Два соседних натуральных числа всегда будут взаимно просты. Например, 15 и 16 - пара взаимно простых чисел, также как 16 и 17. Это легко понять, если принять во внимание «правило» о том, что если два натуральных числа a и b делятся на одно и то же натуральное число большее 1 (n > 1), то и их разница также должна делится на это число n (здесь имеется в виду, что a , b и их разность делятся нацело, т. е. кратны числу n ). Но если a и b два соседних числа (пусть a < b ), то b – a = 1; но 1 делится только на 1 (из ряда натуральных чисел). Следовательно, a и b не имеют других общих делителей, кроме 1.

Из определения взаимно простых чисел и простых чисел также следует, что разные простые числа всегда оказываются взаимно простыми . Ведь делителями любого простого числа являются лишь оно само и 1.

Свойства взаимно простых чисел

Наименьшее общее кратное (НОК) пары взаимно простых чисел равно их произведению. Например, (3, 8) = 1 (это значит взаимно просты), следовательно, их НОК равен 3 × 8 = 24 (НОК(3, 8) = 24). Действительно, вы не найдете меньшее число, чем 24, которое было бы кратно и 3 и 8.
Если числа a и b взаимно просты и число c кратно как a , так и b , то это число будет кратно и произведению ab . Это можно записать так: если с a и c b , то c ab . Например, (3, 10) = 1, число 60 кратно как 3, так и 10, а также кратно 30 (3 × 10).
Если числа a и b взаимно просты и взято число c кратное b (c b ), то произведение ac также будет также кратно b (ac b ). Например, (2, 17) = 1, пусть c = 34. Число 34 кратно b = 17, тогда ac = 2 × 34 = 68. Проверяем: 68 ÷ 17 = 4, т. е. делится нацело, а значит 68 кратно 17.

Обычно выделяют больше свойств, чем приведено здесь. Кроме того, свойства взаимно простых чисел формулируются по разному. Также бывает требуется доказать эти свойства (в данном случае доказательства не приводятся).

$p$ называется простым числом, если у него только $2$ делителя: $1$ и оно само.

Пример 1

Найти делители числа $6$.

Ответ: $1,2,3,6$.

Определение 2

Составным называют число, у которого кроме единицы и самого себя есть другие делители.

Примером простого числа может являться число $13$, примером составного число $14.$

Замечание 1

Число $1$ имеет только один делитель-само это число, поэтому его не относят ни к простым, ни к составным.

Взаимно простые числа

Определение 3

Попарно взаимно простые

Определение 4

Пример 2

$8, 15$ - не простые, но взаимно простые.

$6, 8, 9$ - взаимно простые числа, но не попарно взаимно простые.

$8, 15, 49$ - попарно взаимно простые.

Разложение на простые множители

Например, разложим на простые множители число $180$:

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$

Воспользуемся свойством степеней, тогда получим,

$180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

Каноническое разложение натурального числа в общем виде

Каноническое разложение натурального числа в общем виде имеет вид:

$m=p^{n1}_1\cdot p^{n2}_2\cdot \dots \dots ..\cdot p^{nk}_k$

где $p_1,p_2\dots \dots .p_k$- простые числа, а показатели степеней- натуральные числа.

Пример 3

Найти наибольший общий делитель чисел $180$ и $240$.

Решение: Разложим числа на простые множества с помощью канонического разложения

$180=2\cdot 2\cdot 3\cdot 3\cdot 5$, тогда $180=2^2\cdot 3^2\cdot 5$

$240=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 5$, тогда $240=2^4\cdot 3\cdot 5$

$НОД \ (180;240)= 2^2\cdot 3\cdot 5=60$

Составим алгоритм нахождения НОД с учетом канонического разложения на простые множители .

Чтобы найти наибольший общий делитель двух чисел с помощью канонического разложения, необходимо:

разложить числа на простые множители в каноническом виде
выбрать степени с одинаковым основанием и с наименьшим показателем степени входящих в состав разложения этих чисел
Найти произведение чисел, найденных на шаге 2.Полученное число и будет искомым наибольшим общим делителем.

Пример 4

Определить, будут ли простыми, взаимно простыми числами числа $195$ и $336$.

$195=3\cdot 5\cdot 13$

$336=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 3\cdot 7=2^4\cdot 3\cdot 5$

$НОД \ (195;336) =3\cdot 5=15$

Пример 5

Определить, будут ли простыми, взаимно простыми числами числа $39$ и $112$.

Решение: Воспользуемся для разложения на множители каноническим разложением:

$112=2\cdot 2\cdot 2\cdot 2\cdot 7=2^4\cdot 7$

$НОД \ (39;112)=1$

Пример 6

Определить будут ли простыми, взаимно простыми числами числа $883$ и $997$.

Решение: Воспользуемся для разложения на множители каноническим разложением:

$883=1\cdot 883$

$997=1\cdot 997$

$НОД \ (883;997)=1$

Два натуральных числа называют взаимно простыми , если единственным их общим делителем является 1, или, что то же самое, их наибольший общий делитель равен 1. Учитывая основную теорему арифметики, можно сказать, что два натуральных числа взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют общих простых делителей.

Заметьте, например, что числа 4 и 9 взаимно просты, но по отдельности ни одно из них не является простым. А число 1 взаимно просто с любым числом, в том числе и с самим собой.

Для этого определения совершенно несущественно, что чисел только два - оно буквально переносится на любое количество натуральных чисел. Например, числа 6, 10, 15 взаимно просты, хотя никакие два из них взаимно простыми, очевидно, не являются.

Свойство взаимной простоты переносится и на множество целых чисел. При этом исходное определение - для натуральных чисел - естественным образом корректируется: целое число всегда имеет два делителя - 1 и -1, так что два целых числа называются взаимно простыми, если их общими делителями являются только 1 и -1.

Зато второй вариант определения сохраняется буквально: два целых числа взаимно просты тогда и только тогда, когда они не имеют общих простых делителей.

Отметим также, что иногда встречается не совсем аккуратная формулировка типа «два числа - натуральных или целых - называются взаимно простыми, если они не имеют общих делителей». В этом случае как бы забывается о 1 и -1. Такая «забывчивость» оправдана тем, что 1 и -1 - тривиальные делители, они всегда есть, и эту мелочь можно для краткости лишь подразумевать.

Очень полезно для следующее достаточно очевидное утверждение: всякое простое число р взаимно просто с любым числом, которое не делится на р.

Напомним, что целое число называют простым, если простым числом является его модуль - натуральное число. Такое обобщение школьного понятия простого числа вполне естественно: ведь главное - это возможность разумного, нетривиального разложения числа на множители, а с этой точки зрения числа, скажем, 5 и -5 вполне равноправны: разложение -5 = (-5) неинтересно, неразумно, тривиально.

Для взаимно простых целых чисел чрезвычайно важным и полезным с точки зрения задач является следующий критерий взаимной простоты двух целых чисел : целые числа a и b взаимно просты тогда и только тогда, когда существуют такие целые числа u и v, что au+ bv = 1 .

Это свойство, однако, явно неверно, если говорить только о натуральных числах: очевидно, не существует таких натуральных чисел u и v, что 2u + Зv = 1 .

На основании именно этого свойства можно доказать - независимо от основной теоремы, что если произведение двух целых чисел делится на простое число р, то хотя бы одно из этих чисел делится на р. В самом деле, если а не делится на р, то а и р взаимно просты, а тогда для некоторых u и v выполняется равенство au + рv = 1 , откуда abu + bрv = b , так что b делится на р.

Более того, это утверждение в действительности является главным для доказательства основной теоремы арифметики.

В то же время доказательство самого критерия взаимной простоты не то чтобы сложно, но довольно громоздко, и основывается на алгоритме Евклида для нахождения наибольшего общего делителя двух натуральных или целых чисел.

Зная эти теоремы вы сможете не только просто решать некоторые математические упражнения. А также если вас интересует передача что где когда , то эти знания помогут вам победить в данном конкурсе.

Ключевые слова: теория чисел, лекции, взаємно прості числа.

Определение. Целые числа a и b называются взаимно простыми, если (a , b) = 1.

Два числа a и b являются взаимно простыми тогда и только тогда, когда найдутся целые числа u и v такие, что au + bv = 1.

Пусть X = { x n | n = 1, 2,...} - произвольная строго возрастающая последовательность натуральных чисел (или, если угодно, X - произвольное подмножество натуральных чисел, упорядоченное естественным образом). Обозначим через ξ(N; X) число членов последовательности X, не превосходящих N .

Определение. Число называется (верхней асимптотической) плотностью последовательности X = { x n | n = 1, 2,...} в множестве N .

Пример 1. Пусть x n = 2n , где n пробегает N , - последовательность всех четных чисел. Очевидно, что

Между прочим, это хорошо согласуется с нашими интуитивными представлениями о том, что четных чисел - половина.

Пример 2. Пусть x n =2 n , где n пробегает N , - геометрическая прогрессия. Интуитивно ясно, что таких чисел в натуральном ряду мало, ибо чем "дальше в лес" по натуральному ряду, тем реже встречается степень двойки. Понятие плотности подтверждает это ощущение: ξ (2 k ; { x n }) = k , и, легко проверить, что

Плотность - это вероятность наугад вытащить из натурального ряда число, принадлежащее заданной последовательности.

Аналогично определению плотности последовательности, можно дать определение плотности множества пар натуральных чисел. Пусть имеется произвольное множество Х упорядоченных пар натуральных чисел. Обозначим через ξ (N ; X) число пар из множества Х, каждая компонента которых не превосходит N . Полезно представить себе пары чисел из множества Х как координаты точек на координатной плоскости, тогда ξ (N ; X) есть просто число точек множества Х, попавших в квадрат {(x , y) | 0 < x ≤ N ; 0 < y ≤ N }.

Определение. Число

называется (верхней асимптотической) плотностью множества пар Х в множестве N 2 .

Пример 3. Пусть Х - множество всех пар натуральных чисел, у которых первая компонента строго больше второй. Множеству Х соответствуют точки первой четверти координатной плоскости, лежащие под биссектрисой y = x . Плотность такого множества легко подсчитать:

Пусть X - множество всех упорядоченных пар (u , v) натуральных чисел таких, что (u , v) = 1, т.е. множество всех пар взаимно простых чисел.

Теорема (Чезаро). Вероятность выбрать из N пару взаимно простых чисел равна 6/π 2 , точнее Доказательство. Предположим сразу, что существует вероятность p того, что случайно выбранные натуральные числа а и b взаимно просты. Пусть d ∈ N . Через P { S } обозначим, как обычно, вероятность события S . Рассуждаем: Р